Expériences

Code, résultats et reproductibilité des expériences E1–E3

À propos Toutes les expériences de ce site tournent sur un processeur ordinaire (Intel Xeon, 4 cœurs, 2,30 GHz, sans GPU), en Python 3.13 avec NumPy 2.5, SciPy 1.18, Matplotlib 3.11 et PyTorch 2.15 (version CPU). Ce sont des bancs d’essai à petite échelle : ils testent des idées et des mécanismes, pas des performances sur des données de dynamo réelles. Les chiffres cités dans le rapport viennent tous des fichiers de résultats décrits ici.

Trois rangées, E1, E2 et E3. Dans chaque rangée : une vignette du système (série du dipôle D, carte de MHD 2D, boîte périodique), deux lignes sur le schéma numérique, un petit graphique de la réponse en fonction du paramètre avec les valeurs d'entraînement et de test sur l'axe, et la campagne correspondante de l'infrastructure. — Les trois bancs d’essai sur un même gabarit : système, schéma numérique, balayage du paramètre avec la réponse du système, données gardées et place dans la chaîne de calcul. Réponses : E1, fréquence des passages de D par zéro dans les simulations de la grille fine ; E2, énergie magnétique moyenne E_B (± un écart-type), **recalculée** pour ce schéma avec le solveur et les réglages de E2 ; E3, taux de croissance \lambda, axe restreint à \pm 0{,}012 (trois points sous l’échelle, à Rm = 2, 4 et 6, marqués d’une flèche). Points pleins : valeurs d’entraînement ; points vides : valeurs de test. Zones teintées : seuil des renversements (E1) et fenêtres de dynamo (E3).

Organisation du code

Le dossier experiences/ du dépôt contient tout le nécessaire pour reproduire les résultats.

Fichier	Rôle
`common.py`	Flow matching conditionnel (chemin linéaire, schéma de Heun), réseaux (MLP, symétrisation équivariante), métriques (distance d’énergie, Wasserstein tranché), inclinaison exponentielle (I-projection régularisée).
`e1_gissinger.py`	E1 : loi invariante du modèle de renversements de Gissinger (2012), conditionnée par \Gamma ; symétrie, identités de stationnarité, formule de Rice. Mise en cache des étapes coûteuses dans `resultats/cache_e1/`.
`mhd2d.py`	Solveur pseudo-spectral de la MHD 2D incompressible forcée, en potentiels (\omega, a).
`e2_donnees.py`	E2 : instantanés MHD 2D pour onze valeurs de \eta (six d’entraînement, cinq de test).
`e2_mhd2d.py`	E2 : cinq mécanismes de contrainte de divergence, perte de stationnarité en loi, inclinaison contre recalage par échantillon.
`e3_abc.py`	E3 : dynamo cinématique de l’écoulement ABC, taux de croissance en fonction de Rm.
`unet.py`	Petit U-Net périodique (non utilisé dans les résultats finaux : trop lent sur CPU, voir plus bas).
`figures.py`	Graphiques en français et en anglais (`figures/<nom>.png` et `figures/<nom>-en.png`).
`digest.py`	Condensé chiffré `resultats/digest.md`, source des tableaux 1, 3 à 6 et 8 du rapport (les tableaux 2 et 7 viennent des fichiers JSON de E1 et E2).

Reproduire

cd experiences
python3 e3_abc.py                 # E3, environ 23 min
python3 e2_donnees.py             # E2, données : environ 30 min
python3 e2_mhd2d.py               # E2, modèles : environ 67 min
python3 e1_gissinger.py           # E1, environ 2 à 3 h (reprenable)
python3 figures.py && python3 digest.py > resultats/digest.md

Chaque script accepte --quick pour une version réduite (de quelques minutes à une vingtaine de minutes pour E1), utile pour vérifier l’installation. Les graines sont fixées dans le code (0 et 1 pour les deux répétitions d’E1). Les durées indiquées ont été mesurées sur la machine décrite plus haut, en partie pendant que d’autres calculs tournaient.

E1 — renversements du dipôle

Le modèle à trois modes de Gissinger sert de « dynamo de poche » : il a la symétrie \mathbf{B}\to-\mathbf{B}, un seuil d’apparition des renversements (entre \Gamma = 0{,}86 et 0{,}865) et une dynamique connue exactement. On y apprend la loi stationnaire p(Q, D, V \mid \Gamma) par flow matching conditionnel, puis on mesure ce que changent la symétrie imposée par construction, la perte de stationnarité et la projection par échantillon. La fréquence des renversements est estimée à partir de la seule loi générée, par la formule de Rice.

En bref : le champ de vitesse équivariant garde la loi symétrique à toute valeur de \Gamma, alors que l’augmentation des données ne la symétrise qu’aux valeurs d’entraînement ; la projection de chaque échantillon sur \mathrm{d}E/\mathrm{d}t = 0 multiplie par 9 la distance d’énergie à la vraie loi ; la formule de Rice retrouve la fréquence des passages avec une erreur cumulée de 14 % loin du seuil (jusqu’à 65 % en un point) et de 42 % près du seuil ; la perte de stationnarité améliore les résidus d’un bon modèle, mais échoue sur un modèle biaisé.

Résultats et discussion : rapport, section E1. Schéma interactif : modèle de Gissinger.

Deux graphiques en fonction de Gamma de 0,80 à 1,00 : à gauche la fréquence des passages de D par zéro, nulle sous 0,865 puis croissante ; à droite la probabilité que |D| soit inférieur à 0,25. — Fréquence des passages de D par zéro et masse du « pont » |D| < 0{,}25 en fonction de \Gamma : simulation, formule de Rice sur la loi de référence et sur les lois générées.

Quatre diagrammes en barres horizontales, une barre par variante, avec une ligne en tirets pour le plancher de bruit ou la valeur de référence. — Comparaison des variantes aux valeurs de test de \Gamma : distance d’énergie, résidu de Liouville de contrôle (degré 3), asymétrie |\mathbb{P}(D>0) - 1/2| et rapport \sigma(\mathrm{d}E/\mathrm{d}t)/\sigma_{\mathrm{ref}}, avec les planchers de bruit.

Trois panneaux : histogrammes de dE/dt, puis deux nuages de points dans le plan Q-D superposés à la référence grise. — Symétrie et contrainte par échantillon : densité de dE/dt à \Gamma = 0{,}93 (la projection concentre tout en zéro) et nuages (Q, D) à \Gamma = 0{,}85 pour le modèle de base, asymétrique, et le modèle équivariant.

E2 — MHD 2D et contraintes de divergence

La MHD 2D forcée produit des champs (\mathbf{u}, \mathbf{B}) à divergence nulle par construction. On génère ces champs conditionnellement au paramètre \eta dans la base de Fourier tronquée (220 modes indépendants par champ scalaire), qui est la base POD d’une turbulence homogène sur domaine périodique. On compare cinq façons de gérer la divergence, puis l’effet d’une contrainte en loi sur le bilan d’énergie.

Résultats et discussion : rapport, section E2.

Trois diagrammes en barres horizontales, échelle logarithmique, pour huit variantes. — Divergence relative, erreur de spectre et résidu du bilan d’énergie moyen pour les variantes V0 à V5 sur les valeurs de \eta de test, comparées à un sous-échantillon des données.

Trois diagrammes en barres horizontales pour quatre variantes. — Contrainte en loi contre contrainte par échantillon (valeurs de \eta de test) : résidu du bilan d’énergie, dispersion de la dissipation et distance d’énergie, pour le modèle V4, son inclinaison exponentielle, son recalage échantillon par échantillon et le modèle V5 entraîné avec la perte de stationnarité.

Un premier essai avec un U-Net périodique sur la grille 32\times32 (fichier unet.py) coûtait environ 0,3 s par pas d’entraînement sur ce processeur : cinq variantes auraient demandé plusieurs heures au total (environ 30 min chacune au budget de 6000 itérations). Le passage à la base de Fourier tronquée garde la comparaison propre (même réseau, même budget pour toutes les variantes) à un coût compatible avec un CPU. Le stage proprement dit se ferait sur GPU, avec des architectures de champ (U-Net, transformeurs, décodeurs fonctionnels).

E3 — dynamo cinématique ABC

L’équation d’induction avec l’écoulement ABC imposé est résolue par une méthode pseudo-spectrale 32^3. Le taux de croissance \lambda(Rm) change de signe en Rm \approx 8{,}87, 17{,}6 et 26{,}8, en accord avec les fenêtres connues. La forme rotationnelle de l’équation garde \nabla\cdot\mathbf{B} à la précision machine (\sim 10^{-16}).

Résultats : rapport, section E3. Schéma interactif : dynamo ABC.

Courbe du taux de croissance en fonction de Rm, positive entre 8,9 et 17,6 puis au-delà de 26,8. — Taux de croissance \lambda de la dynamo cinématique ABC en fonction de Rm = 1/\eta (grille 32^3, contrôles en 48^3) ; les zones ombrées sont les fenêtres de dynamo.

Fichiers de résultats

Fichier	Contenu
`resultats/digest.md`	Tableaux chiffrés de toutes les expériences (généré).
`resultats/e1_gissinger.json`	E1 : configuration, statistiques des données, évaluation par variante et par \Gamma (moyenne et écart-type entre graines), grille fine, planchers de bruit.
`resultats/e2_mhd2d.json`	E2 : configuration, évaluation par variante et par \eta, volet « en loi ».
`resultats/e3_abc.json`	E3 : taux de croissance, convergence en résolution, seuils interpolés.
`resultats/*.npz`	Échantillons générés et modes propres, pour les figures et les widgets.

Les fichiers sont dans le dépôt : https://github.com/knoel99/milady-2027/tree/main/experiences.