Modèles génératifs conditionnels à contraintes physiques dures et en loi pour les dynamos turbulentes

Résumé

Une dynamo turbulente engendre un champ magnétique dont la statistique dépend fortement des paramètres de contrôle (nombres de Reynolds cinétique et magnétique, perméabilité des matériaux, asymétrie du forçage) et qui peut se renverser brusquement, comme dans l’expérience von Kármán Sodium (VKS). Les simulations directes de ces écoulements sont coûteuses, si bien qu’on ne dispose que de quelques points dans l’espace des paramètres et de peu de renversements par simulation. Le projet ANR MilaDy veut en tirer des modèles réduits pour étudier les renversements et pour explorer le dispositif DRESDYN ; l’offre de stage associée demande des modèles génératifs conditionnés par les paramètres, qui respectent le bilan d’énergie et la divergence nulle.

La thèse proposée construit des générateurs conditionnels d’instantanés (\mathbf{u}, \mathbf{B}) par flow matching et y impose les contraintes physiques au niveau où elles sont vraies. Les contraintes dures, vraies pour chaque champ (divergence nulle, conditions de raccord au vide, sauts de perméabilité), passent par l’architecture : décodeurs fonctionnels à potentiel vecteur en domaine borné. Les contraintes en loi, vraies seulement pour l’ensemble des champs, passent par la loi générée : symétries \mathbf{B} \to -\mathbf{B} et R_\pi par équivariance, identités de stationnarité \mathbb{E}_{\mu_{\boldsymbol\lambda}}[\mathcal{L}_{\boldsymbol\lambda}\varphi] = 0 (bilans d’énergie et d’hélicités) par une perte à l’entraînement qui s’applique aussi aux paramètres sans données, ou par inclinaison exponentielle à l’échantillonnage.

Le sujet relie ensuite la loi générée aux renversements. La formule de Rice donne la fréquence des passages du moment dipolaire par zéro à partir de la seule loi stationnaire et du second membre des équations, calculable sur un instantané : un générateur d’instantanés prédit ainsi un taux de renversement sans intégration en temps. La thèse en établit les conditions de validité et les limites (bavardage autour de zéro, temps d’attente que la loi ne détermine pas), et quantifie l’erreur inévitable d’un générateur régulier en \boldsymbol\lambda près d’un seuil dynamo (Proposition 9 de la note théorique commune). Les champs générés servent enfin à identifier des modèles réduits de type DQVU et de loi a priori pour l’assimilation de données, dont l’a posteriori est bimodal en \pm\mathbf{B}.

Le plan expérimental monte une échelle de cinq paliers : modèles réduits de renversements (Gissinger, DQVU), MHD 2D périodique, dynamos 3D périodiques (ABC, Taylor–Green), VKS en géométrie cylindrique (SFEMaNS, LATU), puis DRESDYN (précession). Les trois premiers paliers prolongent les expériences E1 à E3 du stage. Chaque palier a ses critères de succès chiffrés et ses conditions d’arrêt ; le budget est estimé à environ 10^4 heures de GPU, sous des hypothèses explicites (§3.7).

1. Contexte et piste retenue

1.1 Deux pistes, une thèse

La page Encadrants compare six pistes de thèse situées à l’intersection des travaux de S. Cheng, D. Lucor, C. Nore et Y. Ponty ; les pistes A et B y arrivent en tête sous les trois jeux de poids essayés. Ce sujet fusionne ces deux pistes. La piste A vise un générateur conditionnel de champs MHD 3D paramétriques, p(\mathbf{u}, \mathbf{B} \mid Re, Rm, \mu_r, \text{asymétrie}), pour VKS ; ses verrous sont la généralisation hors des quelques points simulés, la préservation de \nabla\cdot\mathbf{u} = 0 et \nabla\cdot\mathbf{B} = 0 après décodage, les symétries et la représentation hybride Fourier × éléments finis des données. La piste B vise la génération et la prévision probabiliste des renversements et des événements rares ; ses verrous sont la rareté des renversements, des statistiques à queue lourde et la cohérence entre champs générés et dynamique réduite.

Trois raisons justifient la fusion. La première est institutionnelle : les deux objectifs officiels de MilaDy sont l’étude des renversements et des dynamos « explosives » par des modèles réduits capables de distinguer précurseur, renversement et rebond, et l’optimisation de DRESDYN par des modèles réduits paramétriques (page de l’ANR) ; l’offre de stage demande des champs 3D conditionnés par les paramètres, qui respectent « energy balance and divergence-free conditions » et qui servent ensuite aux modèles réduits et à l’assimilation. Un générateur conditionnel (A) dont on sait extraire la statistique des renversements (B) répond aux deux objectifs à la fois.

La deuxième raison est théorique, et c’est le cœur du sujet. Deux résultats relient un générateur d’instantanés à la statistique des renversements sans demander de longues séries temporelles. Les identités de stationnarité (classe C4 de la taxonomie) contraignent la loi générée, y compris à des paramètres où l’on n’a pas de données. La formule de Rice transforme la loi stationnaire et le second membre F_{\boldsymbol\lambda} des équations en une fréquence de passages du dipôle par zéro. La symétrie \mathbf{B} \to -\mathbf{B} fait le lien entre les deux : elle fixe les poids des deux polarités, que les identités de stationnarité ne fixent pas (Proposition 4 de la note commune et §2.4).

La troisième raison tient aux risques. La piste B seule exige de longues séries pour estimer des fréquences d’événements rares, alors que chaque simulation n’en contient que quelques-uns. La fusion tire des instantanés tout ce que la loi stationnaire contient (moyennes, bilans, fréquence moyenne des passages) et réserve l’information temporelle à ce que la loi ne contient pas, comme la loi des temps d’attente : c’est une limite explicite de la question Q3, démontrée au §2.5. Les autres pistes ne sont pas abandonnées : l’assimilation de données avec a priori génératif devient l’usage en aval de la question Q4 ; DRESDYN devient le palier 4 ; les contraintes dures sur maillages hybrides deviennent la question Q1 ; les bancs d’essai et métriques physiques deviennent le protocole d’évaluation commun du §3.1.

1.2 Ce que le stage a établi

Les trois expériences du stage, détaillées dans la section Expériences du rapport, tournent sur processeur en quelques heures. Elles ne démontrent rien à l’échelle des dynamos de laboratoire ; elles valident la chaîne de calcul et testent les propositions de la note théorique sur des cas où la vérité est connue. Les chiffres ci-dessous viennent du condensé des résultats ; la section E1 du rapport détaille ceux de E1.

E1, modèle de Gissinger à trois modes. Le modèle (Q, D, V) de Gissinger (2012) produit des renversements chaotiques du dipôle D ; E1 apprend la loi stationnaire p(Q, D, V \mid \Gamma) par flow matching conditionnel, autour du paramètre de forçage où apparaissent les renversements. Il compare un modèle de base, l’augmentation des données par la symétrie, un champ de vitesse équivariant, l’inclinaison exponentielle sur neuf identités de stationnarité (monômes de degré au plus 2), un réglage fin par perte de stationnarité imposée à des valeurs de \Gamma tirées dans tout l’intervalle [0{,}80 ; 1{,}00], donc aussi entre les valeurs d’entraînement, et la projection de chaque échantillon sur \mathrm{d}E/\mathrm{d}t = 0. Il estime aussi la fréquence des passages de D par zéro par la formule de Rice à partir des seuls échantillons générés, et la compare au comptage sur les simulations. Aux valeurs de \Gamma jamais vues, le champ équivariant garde la loi symétrique (asymétrie au plancher de bruit, 0,004), alors que l’augmentation ne la symétrise qu’aux valeurs d’entraînement ; il divise la distance d’énergie par 4,6 par rapport au modèle de base. La projection par échantillon la multiplie par 9, comme le prédit le Corollaire 6 de la note. La formule de Rice retrouve la fréquence des passages avec une erreur relative cumulée de 4–6 % sur la loi de référence, de 14 % sur la loi générée loin du seuil (jusqu’à 65 % en un point) et de 42 % au voisinage du seuil, où le générateur lisse le saut de la loi (Proposition 9). Deux résultats négatifs comptent pour la thèse : aux valeurs de test de \Gamma, la perte de stationnarité divise par deux les résidus d’un bon modèle, imposés comme non imposés (0,0136 contre 0,0324 pour le témoin, et 0,0113 contre 0,0224), mais aux valeurs d’entraînement le gain est plus faible et ne descend pas sous les résidus du modèle de départ ; elle resserre aussi d’un quart la loi de \mathrm{d}E/\mathrm{d}t, et elle échoue sur un modèle biaisé (une graine sur deux diverge) ; l’inclinaison a posteriori n’améliore aucune loi.

E2, MHD 2D forcée. E2 génère des instantanés (\mathbf{u}, \mathbf{B}) d’une MHD 2D périodique forcée par un bruit blanc, sur une grille 32^2, conditionnés par la diffusivité magnétique \eta (six valeurs d’entraînement, cinq valeurs de test intercalées, 2400 instantanés d’entraînement par \eta). La représentation est faite de 220 modes de Fourier indépendants (dimension 880 en potentiels, 1760 en composantes), et le réseau est un perceptron de largeur 1024 entraîné 6000 itérations. Aux valeurs de test de \eta, les mesures sont les suivantes.

• La divergence relative de \mathbf{u} vaut 0{,}41 pour le modèle libre, 0{,}34 avec une pénalité douce, 2{,}0 \times 10^{-8} avec le flot projeté, 5{,}0 \times 10^{-17} avec la projection finale et 1{,}8 \times 10^{-17} avec les potentiels (\psi, a). Les potentiels donnent donc la précision machine sans dégrader la qualité : leur distance d’énergie entre lois de descripteurs (2{,}58) est celle de la projection finale (2{,}61).
• La pénalité douce, pourtant sans biais à l’optimum pour une contrainte linéaire (Proposition 3 de la note), dégrade l’énergie magnétique : erreur relative de 1{,}68 sur \mathbb{E}[E_B], contre 0{,}37 pour les potentiels. L’absence de biais en population ne dit rien de l’optimisation à budget fini.
• Le réglage fin des potentiels par une perte de stationnarité (bilan d’énergie moyen imposé à des \eta tirés au hasard, donc aussi aux \eta de test sans données) ramène le résidu relatif du bilan d’énergie en loi de 0{,}46 (témoin réglé sans la perte) à 0{,}061, l’erreur de spectre de 0{,}165 à 0{,}070 et la distance d’énergie de 2{,}52 à 0{,}70. Le plancher de bruit Monte-Carlo (sous-échantillon des données de même taille) vaut 0{,}0018 aux \eta de test, mais il est optimiste, puisqu’il compare la référence à un sous-échantillon d’elle-même ; le plancher honnête, aux \eta d’entraînement, vaut 0{,}030 : le modèle reste loin des données.
• Le recalage de chaque échantillon sur le bilan d’énergie annule le résidu en loi (8{,}3 \times 10^{-6}) mais écrase la dispersion de la dissipation : son écart type ne vaut plus que 8{,}6 \times 10^{-4} fois celui des données, comme le prévoit le Corollaire 6 de la note. L’inclinaison exponentielle sur trois identités (énergie, hélicité croisée, \langle a^2\rangle) réduit le résidu d’énergie de 0{,}47 à 0{,}19, mais avec une taille effective moyenne de 0{,}29 fois le nombre d’échantillons, une dispersion réduite (rapport des écarts types 0{,}20) et une distance d’énergie qui augmente (2{,}62 à 4{,}15) : repondérer un modèle trop éloigné des données ne suffit pas.

E3, dynamo cinématique ABC. E3 calcule le taux de croissance \lambda(Rm) du champ magnétique dans l’écoulement ABC (A = B = C = 1, Rm = 1/\eta) par un schéma pseudo-spectral 32^3 en forme rotationnelle. Les seuils interpolés valent 8{,}87, 17{,}6 et 26{,}8, à comparer aux fenêtres publiées 8{,}9 < Rm < 17{,}5 et Rm > 27 (Archontis et al. 2003, qui citent Galloway et Frisch). La divergence relative reste inférieure à 1{,}6 \times 10^{-16} à tous les Rm. Près du deuxième seuil, la précision est limitée : à Rm = 17{,}5, le taux vaut 2{,}3 \times 10^{-4} sur la seconde moitié de la simulation, -2{,}2 \times 10^{-4} sur le dernier quart et -5{,}2 \times 10^{-4} à la résolution 48^3. E3 ne contient aucun modèle génératif : il valide le palier 3D et la forme rotationnelle qui conserve \nabla\cdot\mathbf{B} = 0.

Ces expériences ne démontrent pas la faisabilité en 3D, en domaine borné ou à haute résolution ; le §4.3 détaille ce qu’elles établissent et ce qu’elles laissent ouvert.

1.3 Questions de recherche

La thèse s’organise autour de quatre questions. Chacune est reprise dans la partie théorique (§2), traduite en expériences par palier (§3) et en risques (§4).

Q1 — Contraintes dures en 3D en géométrie bornée. Dans une boîte périodique, la divergence nulle s’impose par la projection de Leray en Fourier ou par un potentiel vecteur en jauge de Coulomb, \hat{\mathbf{A}} = \mathrm{i}\mathbf{k}\times\hat{\mathbf{B}}/|\mathbf{k}|^2 ; E2 et E3 le confirment. Les dynamos expérimentales sont en géométrie cylindrique, avec des parois, un raccord au champ extérieur et des sauts de perméabilité. Les sous-questions sont les suivantes.

• Quel espace de potentiels décrire pour que \mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A} parcoure exactement l’espace des champs admissibles, avec quelle jauge et quelles conditions de bord sur \mathbf{A} (§2.1) ?
• Comment imposer le raccord à un champ potentiel extérieur (condition de « vide »), qui est linéaire mais non local, sans résoudre un problème de Laplace extérieur par échantillon ?
• Comment représenter les sauts de perméabilité \mu_r des turbines en fer doux, où \mathbf{B}\cdot\mathbf{n} est continu mais où la composante tangentielle de \mathbf{B}/\mu_r l’est aussi, ce qui impose un pli au potentiel ?
• Comment décoder dans la représentation native de SFEMaNS, décomposition de Fourier en azimut et éléments finis de Lagrange dans le plan méridien, avec la régularité sur l’axe et un contrôle discret de la divergence comparable à celui du code ?
• Une décomposition poloïdale–toroïdale à deux scalaires est-elle préférable au potentiel vecteur à trois composantes plus une jauge ?

Q2 — Contraintes en loi pour des EDP de champs. Les identités de stationnarité sont connues (Echeverría 1982 ; Ethier et Kurtz 1986) et la forme faible de Fokker–Planck a déjà servi de perte à un générateur d’échantillons en dimension au plus 100 (Cai et al. 2026). La thèse les applique au générateur d’une EDP de champs, conditionné par des paramètres. Les sous-questions sont les suivantes.

• Quelles fonctions test retenir : l’énergie, les hélicités magnétique et croisée, l’énergie par bande spectrale (bilan échelle par échelle), des fonctions aléatoires ? Comment pondérer et normaliser les identités ?
• Comment estimer la perte sans biais et avec une variance maîtrisée quand chaque évaluation demande d’échantillonner le générateur de façon différentiable (§2.3) ?
• Que garantit la perte aux paramètres sans données, où elle est la seule information ? E2 montre un gain à ces paramètres ; il faut comprendre quand il persiste.
• Comment vivre avec la non-unicité des mesures invariantes : toute mesure invariante (point fixe, orbite périodique instable, mélange) vérifie les identités, si bien que l’attache aux données reste indispensable (§2.2) ?

Q3 — Seuil dynamo et renversements. Le générateur conditionnel doit franchir le seuil dynamo et la zone où les renversements apparaissent. Les sous-questions sont les suivantes.

• Sous quelles conditions la formule de Rice s’applique-t-elle au moment dipolaire D = \ell(\mathbf{B}) d’une dynamo MHD, avec \dot D = \ell(\nabla\times(\mathbf{u}\times\mathbf{B}) + \eta\Delta\mathbf{B}) calculé sur l’instantané généré ; comment corriger le bavardage autour de zéro (§2.5) ?
• Quelle erreur un générateur régulier en \boldsymbol\lambda commet-il près d’une bifurcation, sous-critique (saut de loi) ou supercritique (amplitude en racine carrée) (§2.6) ?
• Dans une zone d’hystérésis, faut-il conditionner le générateur par l’état ou par l’histoire, et comment ?
• Comment estimer ce que la loi stationnaire ne donne pas, comme la loi des temps d’attente entre renversements, à partir de trajectoires courtes lancées depuis des échantillons générés ?

Q4 — Usages en aval. Les champs générés doivent servir au projet. Les sous-questions sont les suivantes.

• Peut-on identifier un modèle réduit de type DQVU (Bousquet et al. 2026) à partir d’instantanés générés et du second membre F_{\boldsymbol\lambda}, sans dériver des séries temporelles, et à quelles conditions la dérive réduite hérite-t-elle des identités de stationnarité (§2.7) ?
• Comment utiliser le générateur comme loi a priori dans l’assimilation de données (ensembles d’arrière-plan, variable latente) avec TorchDA (Cheng et al. 2025), quand l’a posteriori est bimodal en \pm\mathbf{B} près d’un renversement ?

1.4 Antériorité et positionnement

Le sujet s’appuie sur des résultats publiés qu’il faut citer et non revendiquer. Le tableau sépare ce qui est connu de ce que la thèse ajoute.

Ce que ce travail revendique est formulé avec prudence : à notre connaissance, après une recherche bibliographique au 6 novembre 2026, aucune publication ne combine les éléments suivants.

1. Les identités de stationnarité d’une EDP de champs (MHD : bilans d’énergie, d’hélicité croisée, de \langle a^2\rangle en 2D) utilisées comme contraintes en loi d’un modèle génératif conditionnel paramétrique, imposables à des paramètres sans données, et qui sont des identités sans valeur cible (contrairement aux moments externes de Khalifa et al. 2021 ou de Mun 2026).
2. L’énoncé et la mesure de l’incohérence d’une contrainte par échantillon pour un bilan stationnaire (Corollaire 6 de la note, mesuré dans E1 et E2) ; à distinguer du compromis entre exactitude en loi et exactitude physique de Baldan et al. (2026), qui porte sur des résidus d’EDP valables pour chaque échantillon.
3. La formule de Rice appliquée à un générateur d’instantanés pour prédire la fréquence des renversements sans intégration temporelle (aucune antériorité trouvée).
4. La complémentarité entre symétrie et stationnarité : les identités ne fixent pas les poids des composantes ergodiques symétriques, l’équivariance est nécessaire.
5. Un point technique : l’estimateur naïf (carré d’une moyenne de mini-lot) d’une perte de stationnarité vaut en espérance (\mathbb{E}g)^2 + \mathrm{Var}(g)/n et pénalise la dispersion de la loi ; l’estimateur par produit des moyennes de deux demi-lots supprime ce biais.
6. La borne inférieure d’erreur près d’un saut de loi (Proposition 9 de la note), appliquée au seuil dynamo.

L’absence de modèle de diffusion ou de flow matching entraîné sur des simulations de dynamo est une affirmation négative : la recherche n’en a pas trouvé (le travail MHD le plus proche, Kacmaz et al. 2025, est en 2D et son modèle génératif n’impose pas \nabla\cdot\mathbf{B} = 0), mais une absence ne se prouve pas. Une veille sera refaite avant chaque soumission.

2. Partie théorique

Cette partie reprend la note théorique commune au rapport et au sujet de thèse (specs/theorie-brief.md), sans la contredire, et l’étend aux questions Q1 à Q4. Les encadrés sont numérotés 2.n ; quand un énoncé reprend une proposition de la note, son numéro dans la note est indiqué entre crochets, par exemple « [note : Prop. 8] ». Les énoncés sont de trois sortes : résultats publiés, attribués à leurs auteurs ; propositions démontrées ici, en général élémentaires et parfois sans doute connues sous d’autres formes ; conjectures, étiquetées comme telles, avec ce qu’il faudrait pour les démontrer. Les notations sont celles du site (specs/notations.md) ; le temps du flot t \in [0, 1] n’est pas un temps physique, et le champ de vitesse du flot v_\theta ne doit pas être confondu avec la vitesse physique \mathbf{u}.

Le cadre est celui de la note. Les paramètres de contrôle sont \boldsymbol\lambda \in \Lambda \subset \mathbb{R}^p. L’état discrétisé \mathbf{x} \in \mathbb{R}^D suit \mathrm{d}\mathbf{x} = F_{\boldsymbol\lambda}(\mathbf{x})\,\mathrm{d}t + \Sigma\,\mathrm{d}W_t, de générateur \mathcal{L}_{\boldsymbol\lambda}\varphi = F_{\boldsymbol\lambda}\cdot\nabla\varphi + \tfrac12\Sigma\Sigma^\top : \nabla^2\varphi. Les données sont des instantanés d’un état statistiquement stationnaire, de loi \mu_{\boldsymbol\lambda}. Le modèle est q_\theta(\cdot\mid\boldsymbol\lambda) = (\Phi^{\boldsymbol\lambda}_1)_\#\mathcal{N}(0, I), où \Phi^{\boldsymbol\lambda}_t est le flot de \dot{\mathbf{z}} = v_\theta(\mathbf{z}, t, \boldsymbol\lambda), appris par flow matching (Lipman et al. 2023) sur le chemin linéaire \mathbf{x}_t = (1-t)\mathbf{x}_0 + t\mathbf{x}_1.

Le tableau suivant fait la correspondance entre les énoncés de la note et ceux de cette page.

2.1 Espaces de champs contraints et décodeurs à divergence nulle en domaine borné

La question Q1 demande de générer des champs magnétiques qui vérifient exactement \nabla\cdot\mathbf{B} = 0 dans un domaine borné, avec des conditions de bord et d’interface. On fixe d’abord les espaces, puis on montre ce qu’un décodeur à potentiel garantit et ce qu’il ne garantit pas.

Le résultat suivant est publié ; on l’énonce dans le cas simplement connexe, qui est celui d’une cuve cylindrique pleine, et l’on démontre la partie unicité, la plus utile pour un décodeur.

Le théorème dit qu’en jauge de Coulomb avec \mathbf{A}\cdot\mathbf{n} = 0, le potentiel est une coordonnée de l’espace des champs admissibles : on ne perd aucun champ et l’on n’en compte aucun deux fois. C’est la généralisation 3D, en domaine borné, de la fonction de courant utilisée par FunDiff (Wang et al. 2026) et par l’expérience E2.

Le raccord au vide est la deuxième difficulté. Dans VKS comme dans SFEMaNS, le conducteur \Omega est entouré d’un milieu isolant où le champ dérive d’un potentiel scalaire (Nore et al. 2018). Avec \mu_r = 1 de part et d’autre et sans courant de surface, \mathbf{B} est continu à travers \Gamma et se raccorde à un champ extérieur \nabla\phi avec \Delta\phi = 0 hors de \bar\Omega et \phi \to 0 à l’infini.

La troisième difficulté est le saut de perméabilité aux turbines en fer doux. Dans la simulation de référence de Bousquet et al. (2026), \mu_r = 16 dans les turbines et 1 ailleurs. À travers une interface \Sigma sans courant de surface, la composante normale de \mathbf{B} et la composante tangentielle de \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_r (en unités d’Alfvén) sont continues.

La construction (iii) est proposée ici ; elle est à confronter à la littérature numérique sur les interfaces magnétiques avant d’en revendiquer quoi que ce soit. Elle demande la distance signée à l’interface, donc la géométrie des turbines, et elle se complique quand l’interface bouge : dans les simulations de Bousquet et al. (2026), \mu_r(\mathbf{x}, t) varie avec la rotation des turbines non axisymétriques. Le générateur devra alors recevoir la phase des turbines comme condition ou comme variable.

Pour VKS avec raccord au vide, \mathbf{B}\cdot\mathbf{n} \neq 0 sur la paroi : l’hélicité magnétique « brute » d’un champ généré n’est pas une métrique bien définie, il faut l’hélicité relative. Dans les boîtes périodiques des paliers 1 et 2, H_M en jauge de Coulomb est bien définie.

Le potentiel vecteur a trois composantes pour deux degrés de liberté par mode de Fourier, d’où la jauge. La décomposition poloïdale–toroïdale n’a que deux scalaires ; en domaine triplement périodique, elle se démontre en quelques lignes.

Un décodeur qui sort (P, T, \mathbf{b}) produit un champ exactement solénoïdal, sans jauge à fixer et avec un scalaire de moins que \mathbf{A}. Dans un cylindre d’axe \mathbf{e}_z, une décomposition du même type existe à l’intérieur, mais les conditions de raccord couplent P et T au champ extérieur ; leur forme exacte pour la géométrie de VKS est une sous-question de Q1, à traiter avec C. Nore.

Les deux résultats suivants de la note s’appliquent à toute contrainte linéaire, donc à la divergence, aux conditions aux limites linéaires et au raccord au vide. On les rappelle parce que la thèse s’en sert pour choisir entre projection et potentiels ; ce sont des conséquences élémentaires des définitions, sans doute connues sous d’autres formes.

Les différences observées dans E2 entre ces mécanismes viennent donc de l’erreur d’approximation et du biais inductif, pas de la cible ; la pénalité, sans biais à l’optimum, y a pourtant dégradé l’énergie magnétique (§1.2). Le widget ci-dessous illustre la projection de Leray sur le tore 2D, qui est l’alternative « projection » aux potentiels.

2.2 Identités de stationnarité pour la MHD incompressible forcée

Pour que les énoncés soient rigoureux, on se place dans le cadre de dimension finie qui est celui des données et du modèle : la troncature de Galerkin, que réalise un code pseudo-spectral désaliasé.

En dimension infinie, la même identité demande l’égalité d’énergie le long des solutions, qui n’est pas acquise pour les solutions faibles de Navier–Stokes 3D (Leray 1934 n’établit qu’une inégalité d’énergie). C’est une raison de plus de travailler sur le système tronqué, qui est de toute façon ce que les données et le modèle représentent.

Le calcul de l’énergie suit Tobias (2021, éq. 2.11–2.12) en y ajoutant le forçage. Les autres bilans sont classiques en MHD forcée ; la dérivation ci-dessus, faite sur le système tronqué avec le terme d’Itô et recoupée avec le code de E2, est la nôtre, sans revendication de nouveauté. Les invariants idéaux E, H_C, H_M de la MHD 3D sont ceux de Woltjer (1958) et de Pouquet et al. (2019) ; en 2D, les invariants quadratiques E, H_C et \langle a^2\rangle restent conservés par la troncature de Galerkin (Krstulovic, Brachet et Pouquet 2011). Les trois identités 2D sont exactement celles de E2 (code e2_mhd2d.py, fonction diagnostics).

Le terme d’Itô est le point qui distingue un forçage blanc d’un forçage déterministe : l’injection moyenne d’un forçage blanc est une constante connue, indépendante de l’état, alors que l’injection d’un forçage déterministe \langle\mathbf{u}\cdot\mathbf{f}\rangle dépend de l’échantillon et doit être calculée sur lui. Sans forçage magnétique et sans frottement, la troisième identité se réduit à \mathbb{E}_\mu[\langle\mathbf{j}\cdot\mathbf{B}\rangle] = 0.

Les fonctions test ne sont pas limitées aux invariants quadratiques. Soit P_S le projecteur sur une couronne de nombres d’onde S et \varphi_S = \tfrac12\langle|P_S\mathbf{u}|^2 + |P_S\mathbf{B}|^2\rangle, l’énergie de la bande S. Le calcul de la Proposition 2.13 donne

\mathcal{L}\varphi_S = \mathcal{T}_S(\mathbf{x}) - \nu\langle|P_S\boldsymbol\omega|^2\rangle - \eta\langle|P_S\mathbf{j}|^2\rangle - 2\alpha\varphi_S + \langle P_S\mathbf{u}\cdot\mathbf{f}\rangle + \langle P_S\mathbf{B}\cdot\mathbf{g}\rangle + \tfrac12\operatorname{tr}(P_S Q),

où \mathcal{T}_S = \langle P_S\mathbf{u}\cdot(-(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} + \mathbf{j}\times\mathbf{B})\rangle + \langle P_S\mathbf{B}\cdot\nabla\times(\mathbf{u}\times\mathbf{B})\rangle est le transfert non linéaire vers la bande S. Il ne s’annule pas, mais \sum_S\mathcal{T}_S = 0. L’identité \mathbb{E}_\mu[\mathcal{L}\varphi_S] = 0 est le bilan échelle par échelle ; elle demande de calculer les termes non linéaires sur chaque échantillon, ce qui coûte quelques transformées de Fourier.

Reste la question du statut de ces identités. Elles sont nécessaires ; elles ne sont pas suffisantes, et la proposition suivante le dit de la façon la plus brutale.

Un générateur qui s’effondrerait sur quelques états bien choisis vérifierait donc toutes les identités imposées. Trois faits publiés complètent le tableau. Avec un cœur complet de fonctions test, la condition caractérise l’invariance pour les processus de Feller (Liggett, cité par Behme et Schnurr 2015 ; Echeverría 1982 ; Ethier et Kurtz 1986), mais l’invariant peut ne pas être unique (DySLIM, Schiff et al. 2024, note 4). Dans le cas déterministe dissipatif, la mesure physique (SRB) est en général singulière dans les directions stables et l’équation de Liouville n’a pas de solution à densité ; la sélection de cette mesure par la limite à bruit nul n’est établie que dans le cadre Axiom A (Young 2002, Thm 1), et Young précise qu’il n’y a « no general result » au-delà. Il faut donc toujours garder l’attache aux données : les identités complètent la perte de flow matching, elles ne la remplacent pas.

Dans E2, le recalage de chaque échantillon sur le bilan d’énergie illustre exactement ce corollaire : le résidu en loi s’annule et la dispersion de la dissipation disparaît (§1.2).

2.3 Perte de stationnarité conditionnelle

La perte porte sur la loi générée, pas sur la prédiction de fin de chemin \hat{\mathbf{x}}_1 : elle échappe à l’écart de Jensen de PIDM, mais elle demande d’échantillonner le générateur de façon différentiable. Dans E1 et E2, les échantillons de la perte sont produits par un schéma de Heun différentiable à huit pas, alors que la génération finale en utilise cinquante : la perte contraint la loi de l’échantillonneur court ; l’écart entre les deux a été mesuré a posteriori dans E1 (rapport \sigma(\mathrm{d}E/\mathrm{d}t)/\sigma_{\mathrm{ref}} de 0,77 à 8 pas contre 0,82 à 50 pas), pas dans E2, et devra l’être en 3D.

Le biais de l’estimateur naïf n’est pas anodin : son gradient contient \nabla\mathrm{Var}_{q_\theta}(\mathcal{L}\varphi)/(2n), qui pousse le modèle à réduire la dispersion de la loi générée. Près de l’optimum (m \approx 0), l’estimateur sans biais a une variance d’ordre \sigma^4/n^2, faible ; loin de l’optimum, elle est dominée par 2m^2\sigma^2/n. Ce biais est apparu lors de la mise au point de E1, sur sa version rapide (rapport, contributions) ; les sorties de cette version rapide ne sont pas citées comme résultats.

La perte ne déplace donc pas l’optimum quand le modèle peut atteindre la vérité. Ce n’est plus vrai en classe mal spécifiée, où \beta arbitre entre attache aux données et identités ; et aux paramètres sans données, \mathcal{J}_{\mathrm{FM}} ne dit rien, si bien que seuls la perte et la régularité du réseau en \boldsymbol\lambda contraignent le modèle. La Proposition 2.15 interdit d’en attendre une garantie générale ; E2 montre un gain net à ces paramètres (§1.2), et la question Q2 est de comprendre quand il persiste.

L’autre voie agit à l’échantillonnage, sans réentraîner. On l’énonce avec une démonstration complète, qui ne suppose pas l’espace fini.

La limite est dans l’énoncé : \nu^\star \ll q. Une inclinaison ne crée pas de masse ; si q manque une région que \mu charge (le « pont » |D| \approx 0 près du seuil des renversements), la taille effective s’effondre et la correction est vaine. Dans E1 et E2, les multiplicateurs sont appris sur une moitié des échantillons et appliqués à l’autre (pour ne pas surajuster), avec une régularisation qui tolère un résidu de l’ordre de l’erreur Monte-Carlo. La perte de stationnarité, elle, modifie le modèle et peut déplacer de la masse ; mais rien dans les identités ne dit où la déplacer (Proposition 2.15). Le widget ci-dessous compare les deux corrections sur une loi scalaire de \mathrm{d}E/\mathrm{d}t.

2.4 Symétries de VKS et équivariance

Deux symétries comptent pour VKS : le renversement \mathbf{B} \to -\mathbf{B}, qui ne dépend pas du forçage, et la rotation R_\pi d’angle \pi autour d’un axe radial, qui échange les deux turbines. La seconde n’est une symétrie à paramètres fixés qu’en contrarotation exacte ; en forçage asymétrique, elle agit aussi sur les paramètres. C’est ce qui motive une équivariance jointe état–paramètre.

L’hypothèse géométrique de (ii) est à vérifier sur les simulations : une paire de turbines identiques montées tête-bêche la satisfait, mais l’orientation des pales courbes compte. Le résultat central de la note se généralise alors à une action jointe.

Pour VKS, l’énoncé (iii) a une conséquence pratique : si l’on ne dispose de simulations qu’à une asymétrie positive, la symétrie fournit « gratuitement » les données à l’asymétrie opposée, et le modèle symétrisé génère à l’asymétrie opposée exactement l’image par R_\pi de ce qu’il génère à l’asymétrie positive. Pour des isométries, l’invariance passe aux densités : si q a une densité p, alors p(g\mathbf{x}\mid g\cdot\boldsymbol\lambda) = p(\mathbf{x}\mid\boldsymbol\lambda). On s’en sert pour l’assimilation au §2.7.

2.5 Formule de Rice pour les renversements du dipôle

Il faut donc générer conjointement \mathbf{u} et \mathbf{B} : un générateur du seul champ magnétique ne permet pas de calculer \dot D. C’est un argument de plus pour la représentation jointe de la question Q1.

Trois limites encadrent l’usage. Il faut connaître F, donc le modèle physique : la formule ne s’applique pas à des données expérimentales seules. Il faut aussi des trajectoires dérivables : avec un forçage blanc, le bruit ne doit pas agir directement sur \mathbf{B}, ce qui est le cas d’une dynamo forcée mécaniquement (bruit sur \mathbf{u} seulement, \mathbf{B} obéissant alors à une équation sans terme aléatoire). Les hypothèses ne sont pas gratuites : pour une dynamique déterministe chaotique, la mesure physique peut être singulière (Young 2002) et l’existence d’une densité continue pour la loi de (D, \dot D) doit être vérifiée numériquement (régularité des histogrammes près de D = 0). Enfin, \nu_0 compte tous les passages, renversements, excursions et « bavardage » rapide autour de zéro ; c’est ce qu’E1 compare au comptage des changements de signe dans les simulations. Pour isoler les renversements, on compte des passages de seuils.

La borne est d’autant plus serrée que le bavardage au niveau a est rare, c’est-à-dire que a est choisi entre le niveau des fluctuations autour de zéro et la valeur typique D^\ast d’une phase de polarité. L’estimateur à fenêtre a des propriétés simples quand les échantillons sont indépendants, ce qui est le cas des échantillons générés (bruits indépendants), alors que les instantanés d’une simulation sont corrélés.

La loi stationnaire donne la fréquence moyenne des passages ; elle ne donne pas la loi des temps d’attente. L’énoncé suivant le montre sur un contre-exemple gaussien.

Pour la loi des temps d’attente, il faut de la dynamique : intégrer le vrai système (ou un émulateur temporel, ce qui est l’objet de la piste B) à partir d’états tirés par le générateur. La loi générée sert alors de distribution de départ, et les états proches du « pont » |D| \approx 0 sont les plus informatifs. C’est la dernière sous-question de Q3. Le widget ci-dessous permet de compter les passages par zéro du modèle de Gissinger et de faire varier \Gamma.

2.6 Erreur près d’un saut de loi

Un générateur conditionnel est une fonction régulière de \boldsymbol\lambda ; la loi physique ne l’est pas toujours. On quantifie le conflit.

Une bifurcation supercritique ne fait pas sauter la loi, mais la fait varier en racine carrée ; la même difficulté apparaît, atténuée.

La loi vraie a une pente infinie au seuil ; un générateur de constante K fait une erreur au moins proportionnelle à 1/K sur une fenêtre de largeur proportionnelle à 1/K^2. Augmenter K réduit l’erreur mais rend le modèle plus sensible aux paramètres partout. Au seuil d’une dynamo turbulente, l’amplitude du champ suit souvent une loi de ce type : dans VKS, Monchaux et al. (2009) ajustent B_\theta \propto (Rm - 32)^{0{,}77}, et la loi d’échelle de \langle B^2\rangle de Monchaux et al. (2007) est linéaire en (Rm - Rm_c).

2.7 Lien avec la réduction de modèle et l’assimilation

Les champs générés doivent servir aux modèles réduits et à l’assimilation (objectifs de l’ANR et de l’offre). Trois résultats simples relient la qualité du générateur à ces usages ; ils sont élémentaires et sans doute connus sous d’autres formes (la Proposition 2.40 (i) est le principe de la prédiction optimale par espérance conditionnelle).

Un générateur proche en W_2 donne donc une base POD proche, pourvu que les modes retenus soient séparés : c’est le cas des quatre modes dominants de VKS (\psi_D, \psi_Q, \varphi_V, \varphi_U) que Bousquet et al. (2026) extraient de 2000 instantanés, à vérifier sur leurs valeurs propres.

Le modèle DQVU de Bousquet et al. (2026) est identifié par une régression de Galerkin contrainte (PySINDy), avec des dérivées temporelles obtenues par un filtre de Savitzky–Golay et deux contraintes : une contrainte quadratique de type Navier–Stokes, A_{uvv} + A_{vvu} = 0, et ce que les auteurs appellent la conservation statistique du troisième moment, X^2\cdot f(X, p) = 0. Si l’on lit cette dernière comme la moyenne sur les données de X^2 f(X, p), c’est exactement l’identité (ii) pour \psi(X) = X^3/3 : une identité de stationnarité de classe C4, imposée au modèle réduit. La proposition dit qu’une dérive obtenue par espérance conditionnelle la vérifie automatiquement, et que des instantanés générés avec F suffisent à l’identifier. Elle ne dit pas que la dynamique réduite reproduit la loi \nu comme mesure physique (la non-unicité de la Proposition 2.15 demeure), ni qu’une dérive markovienne suffit (les termes de mémoire sont ignorés).

Près d’un renversement, les observations du dipôle sont proches de zéro et l’a posteriori est bimodal si l’a priori l’est : sa moyenne, nulle par symétrie, n’est un état typique d’aucun des deux modes. Les méthodes qui résument l’a posteriori par une moyenne et une covariance (filtre de Kalman d’ensemble, 3D-Var avec un arrière-plan unimodal) sont alors biaisées vers un état « moyen » non physique. Un a priori génératif équivariant offre deux remèdes exacts : l’échantillonnage préférentiel par paires symétriques, puisque q(S\mathbf{x}) = q(\mathbf{x}) exactement (§2.4) ; et l’assimilation variationnelle dans la variable latente, \mathcal{J}(\mathbf{z}) = \tfrac12|\mathbf{z}|^2 + \tfrac12\lVert\mathbf{y} - H(\Phi_1(\mathbf{z}))\rVert^2_{R^{-1}}, lancée depuis \mathbf{z} et depuis son symétrique S\mathbf{z} (l’équivariance du flot donne \Phi_1(S\mathbf{z}) = S\Phi_1(\mathbf{z})). La seconde voie prolonge l’assimilation latente généralisée de Cheng et al. (2022), avec un a priori gaussien exact sur \mathbf{z} par construction du flow matching. TorchDA (Cheng et al. 2025), cité dans le résumé de MilaDy, fournit filtre de Kalman, filtre de Kalman d’ensemble, 3D-Var et 4D-Var avec des réseaux profonds comme modèle de transition et opérateur d’observation : le générateur s’y insère comme générateur d’ensembles d’arrière-plan et comme changement de variable. Les travaux voisins sont l’assimilation par modèles de score (Rozet et Louppe 2023 ; Huang et al. 2024, DiffDA), la reconstruction de champs par diffusion à partir d’observations éparses (Zhuang, Cheng et Duraisamy 2025) et l’erreur de modèle par dynamique générative (Bocquet, Finn et Cheng, préprint 2026).

3. Plan expérimental

3.1 Protocole commun

Tous les paliers suivent le même protocole, hérité du stage et durci. Les paramètres sont répartis en trois ensembles : entraînement (données utilisées par la perte de flow matching), test (données tenues à part, intercalées entre les paramètres d’entraînement) et sans données (paramètres où l’on n’utilise que la perte de stationnarité et où l’on garde des simulations de référence pour l’évaluation seulement). Chaque variante est entraînée avec au moins trois graines ; on rapporte moyenne et écart type. Chaque métrique est accompagnée de son plancher de bruit Monte-Carlo, calculé sur un sous-échantillon des données de même taille que l’ensemble généré ; une différence plus petite que ce plancher n’est pas interprétée.

La batterie de métriques reprend celle de la fiche de recherche sur les métriques et la complète pour la MHD. Toutes ne s’appliquent pas à tous les paliers.

En 2D, les points nuls de \mathbf{B} = \nabla^\perp a sont les points critiques de a : extremums (points O) et cols (points X). Sur le tore, pour une fonction de Morse, le nombre de cols est égal au nombre d’extremums (formule de Poincaré–Hopf, caractéristique d’Euler nulle) ; la loi du nombre de points X est une métrique topologique simple et vérifiable.

3.2 Palier 0 — Modèles réduits de renversements (Gissinger, DQVU)

Le palier 0 reprend E1 et lui ajoute le modèle DQVU. Tout y est connu : on peut simuler aussi longtemps qu’on veut et compter les renversements exactement. C’est le banc où les énoncés des §2.4 à §2.6 sont testés avant d’être utilisés là où la vérité coûte cher.

3.3 Palier 1 — MHD 2D périodique

Le palier 1 reprend E2 à une résolution utile et avec des architectures de champs. La MHD 2D n’a pas de dynamo (théorème de Zel’dovich, dans la formulation de Tobias 2021) : l’axe 3 est sans objet à ce palier, qui sert aux axes 1 et 2.

3.4 Palier 2 — Dynamos 3D périodiques (ABC, Taylor–Green)

Le palier 2 est le premier où une vraie dynamo existe. Il prolonge E3 (dynamo cinématique ABC) vers la MHD complète, avec deux écoulements de référence de Y. Ponty : l’écoulement ABC, près duquel l’intermittence on-off a été étudiée (Alexakis et Ponty 2008), et le forçage de Taylor–Green, dont les seuils sont connus en fonction de Pm (Ponty et al. 2005 : Rm_c = 30 à Pm = 1, 226 à Pm = 0{,}3) et qui présente une bifurcation sous-critique (Ponty et al. 2007).

Le widget suivant reprend les données de E3 : taux de croissance de la dynamo cinématique ABC et coupe du mode propre.

3.5 Palier 3 — VKS en géométrie cylindrique (SFEMaNS, LATU)

Le palier 3 est la cible du sujet. Les données viennent des partenaires : simulations SFEMaNS de C. Nore (Nore et al. 2016, 2018 ; Creff et al. 2024) et simulations LATU et SFEMaNS des renversements (Bousquet et al. 2026). Elles ne sont pas publiques : Bousquet et al. (2026) les déclarent « available from the authors upon reasonable request ». L’accès passe donc par le consortium et doit être demandé dès le début de la thèse.

3.6 Palier 4 — DRESDYN (précession)

Le palier 4 répond à l’objectif (ii) de MilaDy : explorer les conditions de dynamo de DRESDYN avec des modèles réduits paramétriques en fonction du rapport des fréquences de précession et de rotation. Botez et al. (2026) étudient la dynamo cinématique de précession en cylindre à partir de champs de vitesse moyennés en temps : la dynamo n’est probable que dans une « narrow range » du nombre de Poincaré Po, deux familles de modes sont en compétition (quadrupolaire centro-symétrique, dipolaire centro-antisymétrique), et des conditions aux limites simplifiées sous-estiment systématiquement Rm_c.

3.7 Budget de calcul

Le budget est estimé en heures de GPU de la classe A100. Les hypothèses sont explicites ; elles seront remplacées par des mesures dès la première année.

• H1 (point d’ancrage publié). PCDM (Li et al. 2026) entraîne un modèle de diffusion 3D en espace physique sur de la turbulence en rotation 64^3 en 8\times10^5 itérations, en environ 12 jours sur 4 A100, soit environ 1150 heures de GPU.
• H2. Un modèle latent (autoencodeur fonctionnel et transformeur de diffusion) coûte environ le quart d’un modèle en espace physique à résolution égale. Hypothèse non vérifiée, à mesurer au palier 1.
• H3. En 2D à 128^2, une itération coûte environ seize fois moins qu’en 64^3 (rapport du nombre de points), et 2\times10^5 itérations suffisent : environ 20 heures de GPU par entraînement.
• H4. Les simulations de référence des paliers 2 à 4 tournent sur processeurs (moyens des laboratoires ou allocation nationale), et ne sont pas comptées en GPU.
• H5. Une réserve de 20\,\% couvre les entraînements ratés et les reprises.

L’incertitude est d’un facteur deux au moins. Le palier 2 est le plus coûteux ; c’est aussi le premier où l’on peut réduire la résolution sans perdre la question scientifique.

4. Évaluation du plan

4.1 Faisabilité

Le plan est faisable en 36 mois pour quatre raisons, et fragile sur un point. Premièrement, la chaîne de calcul existe déjà à petite échelle : flow matching conditionnel, potentiels, projection, perte de stationnarité sans biais, inclinaison exponentielle, formule de Rice et métriques ont été écrits et testés dans E1 à E3 ; les paliers 0 et 1 sont un passage à l’échelle de code existant. Deuxièmement, les briques d’architecture sont publiées : autoencodeurs fonctionnels et génération latente (FunDiff, Wang et al. 2026), projection de Leray en 3D (PCDM, Li et al. 2026), modèles génératifs de turbulence 3D (Lienen et al. 2024). Troisièmement, les compétences nécessaires sont réparties dans l’équipe envisagée : modèles génératifs conditionnels et assimilation de données, avec TorchDA, chez S. Cheng ; autoencodeurs comparés à la POD, ML informé par la physique et quantification d’incertitude chez D. Lucor ; données SFEMaNS de VKS et de la précession, POD et modèle DQVU chez C. Nore ; codes pseudo-spectraux, dynamos Taylor–Green et ABC, bifurcations sous-critiques et code LATU chez Y. Ponty (page Encadrants). Quatrièmement, le budget de calcul, environ 10^4 heures de GPU, est modeste pour trois ans et peut être réduit au palier 2 sans perdre la question scientifique.

Le point fragile est le palier 3 : il dépend de données non publiques. L’accès doit être demandé au premier trimestre, et un repli est prévu (simulations à basse résolution avec SFEMaNS). Un second point est administratif et doit être clarifié avec les encadrants : MilaDy a commencé en janvier 2026 pour 48 mois ; une thèse commencée à l’automne 2027 se terminerait à l’automne 2030, après la fin nominale du projet. Le financement des derniers mois n’est pas documenté dans les sources consultées.

4.2 Matrice des risques

La probabilité et l’impact sont notés faible, moyen ou élevé ; ce sont des estimations de l’auteur de cette proposition.

4.3 Ce que les expériences préliminaires démontrent, et ce qu’elles ne démontrent pas

En résumé, E1 à E3 rendent crédibles les mécanismes et les outils de mesure, et E1 signale la fragilité de la perte de stationnarité, qu’il faudra ancrer au modèle de départ ; elles ne disent rien de leur passage à l’échelle 3D, aux domaines bornés ou aux données turbulentes de VKS, qui sont l’objet de la thèse.

4.4 Publications visées

Trois articles sont prévus, un par axe, aux mois 10, 22 et 33. Les lieux cités sont plausibles au vu des travaux voisins ; aucune acceptation n’est promise.

1. Contraintes en loi pour des générateurs conditionnels de champs (axe 2, paliers 0 et 1). Les travaux les plus proches ont paru en conférence d’apprentissage (Bastek et al. 2025 et Tauberschmidt et al. 2026 à ICLR) ou en revue de calcul scientifique (Cai et al. 2026 dans SIAM J. Sci. Comput.). Cibles plausibles : ICLR, NeurIPS, ICML ou AISTATS ; Journal of Computational Physics, SIAM Journal on Scientific Computing, Machine Learning: Science and Technology.
2. Contraintes dures en domaine borné pour les champs magnétiques générés (axe 1, paliers 2 et 3). Cibles plausibles : Journal of Computational Physics, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Computer Physics Communications, où publient déjà S. Cheng, D. Lucor et C. Nore.
3. Renversements et seuil dynamo à partir d’un générateur d’instantanés (axe 3, paliers 2 à 4). Cibles plausibles : Physical Review Fluids (où ont paru les deux premiers articles de MilaDy, Bousquet et al. 2026 et Botez et al. 2026), Physical Review E, Journal of Fluid Mechanics, Chaos.

Si les partenaires l’acceptent, les jeux de données des paliers 1 et 2 et la batterie de métriques MHD pourraient faire l’objet d’un article de banc d’essai, dans la piste « Datasets and Benchmarks » de NeurIPS, où ont paru The Well et PDEBench.

4.5 Intégration dans la boîte à outils MilaDy

L’offre de stage demande un code reproductible « integrated into the MilaDy project toolbox » ; la forme de cette boîte à outils n’est pas décrite dans les sources consultées et reste à définir avec le consortium. On propose une bibliothèque Python (PyTorch) en sept modules, dont les noms sont indicatifs.

Chaque proposition démontrable numériquement aura son test unitaire (divergence nulle d’un potentiel, absence de biais de l’estimateur, invariance de la loi générée). Les versions 1 (mois 16, paliers 0 à 2) et 2 (mois 30, géométrie cylindrique) sont des jalons du calendrier. La compatibilité de licence avec SFEMaNS (GNU GPL v3) sera vérifiée si la boîte à outils en réutilise du code, et non seulement des fichiers de sortie.

5. Calendrier

Le calendrier compte en mois depuis le début de la thèse. Il est cohérent avec la feuille de route du §3 ; c’est une proposition à discuter avec les encadrants.

Les comités de suivi annuels sont ceux de l’école doctorale ; les séjours sont des propositions, à ajuster aux besoins des données et à la disponibilité des partenaires. La frise ci-dessous résume le calendrier.

Références

Les références ont été vérifiées dans les fiches de recherche du site (Crossref, arXiv, HAL, pages des éditeurs, au 6 novembre 2026). Les quatre références ajoutées pour la partie théorique et absentes de ces fiches (Rice 1944 et 1945, Azaïs et Wschebor 2009, Davis et Kahan 1970) ont été contrôlées dans Crossref le 7 novembre 2026 (métadonnées seulement).

Projet, offre et encadrement

• ANR. Modélisation par apprentissage automatique des dynamos turbulentes – MilaDy, ANR-25-CE51-0077. https://anr.fr/Projet-ANR-25-CE51-0077
• Cheng S., Lucor D. Physics-Constrained Generative AI Modelling of Parametric Dynamical Systems (with potential PhD position), offre de stage M2, 2027. https://scheng2024.github.io/stage_milady_2027.pdf
• Cheng S. Page « Opportunities ». https://scheng2024.github.io/opportunities/
• Bousquet R., Ponty Y., Botez V., Plihon N., Nore C. (2026). Magnetic field reversals in numerical simulations of the von Kármán sodium experiment. Physical Review Fluids 11(6), 063703. https://doi.org/10.1103/9tx2-1m13
• Botez V., Giesecke A., Nore C., Cappanera L., Stefani F. (2026). Impact of boundary conditions on onset and symmetry of precession-driven dynamos. Physical Review Fluids 11(8), 083701. https://doi.org/10.1103/rx1h-5zxp
• Bousquet R., Nore C., Lucor D. (2025). AutoEncoders latent space interpretability in the light of proper orthogonal decomposition: Machine learning of periodically forced fluid flows. Computer Physics Communications 315, 109728. https://doi.org/10.1016/j.cpc.2025.109728
• Cheng S., Min J., Liu C., Arcucci R. (2025). TorchDA: A Python package for performing data assimilation with deep learning forward and transformation functions. Computer Physics Communications 306, 109359. https://doi.org/10.1016/j.cpc.2024.109359
• Cheng S., Chen J., Anastasiou C., Angeli P., Matar O. K., Guo Y.-K., Pain C. C., Arcucci R. (2022). Generalised latent assimilation in heterogeneous reduced spaces with machine learning surrogate models. Journal of Scientific Computing 94(1), 11. https://doi.org/10.1007/s10915-022-02059-4
• Zhuang Y., Cheng S., Duraisamy K. (2025). Spatially-aware diffusion models with cross-attention for global field reconstruction with sparse observations. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 435, 117623. https://doi.org/10.1016/j.cma.2024.117623
• Bocquet M., Finn T. S., Cheng S. (2026). Accounting for model error in ensemble variational data assimilation through learned generative dynamics. Préprint arXiv:2610.17333. https://arxiv.org/abs/2610.17333

Simulations et physique des dynamos

• Nore C., Castanon Quiroz D., Cappanera L., Guermond J.-L. (2016). Direct numerical simulation of the axial dipolar dynamo in the Von Karman Sodium experiment. EPL 114, 65002. https://doi.org/10.1209/0295-5075/114/65002
• Nore C., Castanon Quiroz D., Cappanera L., Guermond J.-L. (2018). Numerical simulation of the von Kármán sodium dynamo experiment. Journal of Fluid Mechanics 854, 164–195. https://doi.org/10.1017/jfm.2018.582
• Creff M., Faller H., Dubrulle B., Guermond J.-L., Nore C. (2024). Tracking dynamo mechanisms from local energy transfers: Application to the von Kármán sodium dynamo. Physics of Plasmas 31(2), 022306. https://doi.org/10.1063/5.0174251
• Guermond J.-L., Laguerre R., Léorat J., Nore C. (2007). An interior penalty Galerkin method for the MHD equations in heterogeneous domains. Journal of Computational Physics 221(1), 349–369. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2006.06.045
• Guermond J.-L., Laguerre R., Léorat J., Nore C. (2009). Nonlinear magnetohydrodynamics in axisymmetric heterogeneous domains using a Fourier/finite element technique and an interior penalty method. Journal of Computational Physics 228(8), 2739–2757. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2008.12.026
• SFEMaNS, documentation de la version 5.3. https://people.tamu.edu/~guermond/SFEMaNS/html/doc_intro.html
• Kreuzahler S., Ponty Y., Plihon N., Homann H., Grauer R. (2017). Dynamo enhancement and mode selection triggered by high magnetic permeability. Physical Review Letters 119(23), 234501. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.119.234501
• Ponty Y., Mininni P. D., Montgomery D. C., Pinton J.-F., Politano H., Pouquet A. (2005). Numerical study of dynamo action at low magnetic Prandtl numbers. Physical Review Letters 94, 164502. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.94.164502
• Ponty Y., Laval J.-P., Dubrulle B., Daviaud F., Pinton J.-F. (2007). Subcritical dynamo bifurcation in the Taylor-Green flow. Physical Review Letters 99(22), 224501. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.99.224501
• Alexakis A., Ponty Y. (2008). Effect of the Lorentz force on on-off dynamo intermittency. Physical Review E 77, 056308. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.77.056308
• Mannix P. M., Ponty Y., Marcotte F. (2022). Systematic route to subcritical dynamo branches. Physical Review Letters 129(2), 024502. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.129.024502
• Ponty Y., Politano H., Pouquet A. (2025). Intermittency assessed through a model of kurtosis–skewness relation in MHD in fast dynamo regimes. Journal of Plasma Physics 91(2), E69. https://doi.org/10.1017/S0022377825000169
• Mininni P. D., Rosenberg D., Reddy R., Pouquet A. (2011). A hybrid MPI–OpenMP scheme for scalable parallel pseudospectral computations for fluid turbulence. Parallel Computing 37(6–7), 316–326. https://doi.org/10.1016/j.parco.2011.05.004
• Monchaux R. et al. (2007). Generation of a magnetic field by dynamo action in a turbulent flow of liquid sodium. Physical Review Letters 98, 044502. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.98.044502
• Berhanu M. et al. (2007). Magnetic field reversals in an experimental turbulent dynamo. EPL 77, 59001. https://doi.org/10.1209/0295-5075/77/59001
• Monchaux R. et al. (2009). The von Kármán Sodium experiment: Turbulent dynamical dynamos. Physics of Fluids 21, 035108. https://doi.org/10.1063/1.3085724
• Pétrélis F., Fauve S. (2008). Chaotic dynamics of the magnetic field generated by dynamo action in a turbulent flow. Journal of Physics: Condensed Matter 20, 494203. https://doi.org/10.1088/0953-8984/20/49/494203
• Gissinger C., Dormy E., Fauve S. (2010). Morphology of field reversals in turbulent dynamos. EPL 90, 49001. https://doi.org/10.1209/0295-5075/90/49001
• Gissinger C. (2012). A new deterministic model for chaotic reversals. European Physical Journal B 85(4), 137. https://doi.org/10.1140/epjb/e2012-20799-5
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