MilaDy · 2027

Schémas interactifs

Six schémas à manipuler dans le navigateur

À propos Chaque schéma est un petit programme JavaScript autonome qui tourne dans votre navigateur, sans serveur. Les formules utilisées sont écrites en tête de chaque fichier (assets/interactif/<nom>.js), avec leurs références. Ces schémas complètent les figures du rapport et les schémas, statiques ou interactifs, des modules de préparation ; ils ne remplacent pas les démonstrations.

Les six schémas suivent l’ordre du parcours : le transport de lois qui fonde le flow matching, la projection qui rend un champ à divergence nulle, la différence entre contrainte par échantillon et contrainte en loi, deux systèmes dynamiques du stage, le modèle de renversements et la dynamo cinématique ABC, puis la chaîne de simulation de l’infrastructure.

1. Flow matching : transporter une loi

Un modèle de flow matching transporte une loi simple, ici une gaussienne, vers la loi des données par un champ de vitesse v(\mathbf{x}, t). Ce schéma utilise le champ marginal exact pour une loi cible formée de deux gaussiennes symétriques \pm\mathbf{m}(\lambda) : c’est le champ qu’un réseau chercherait à apprendre. Le curseur \lambda joue le rôle d’un paramètre physique de conditionnement, comme Rm dans le stage.

Observez deux choses. Les chemins conditionnels \mathbf{x}_t = (1-t)\mathbf{x}_0 + t\mathbf{x}_1 sont droits et se croisent souvent. Les trajectoires du flot marginal sont courbes ; deux particules ne sont jamais au même point au même instant (unicité des solutions de l’équation différentielle), mais leurs traces dans le plan peuvent se couper à des instants différents. En un même point (\mathbf{x}, t) passent des chemins conditionnels de directions différentes, et v(\mathbf{x}, t) est leur moyenne. La loi finale est symétrique parce que le champ l’est : c’est la Proposition 4 du rapport à l’œuvre.

Pour aller plus loin : module p7 — modèles génératifs, chapitre sur le flow matching.

2. Projection de Leray

Tout champ de vecteurs périodique se décompose en une partie à divergence nulle et une partie gradient (décomposition de Helmholtz–Hodge). La projection de Leray \mathbb{P} retire exactement la partie gradient : en Fourier, \hat{\mathbf{u}}_{\mathbf{k}} \mapsto \hat{\mathbf{u}}_{\mathbf{k}} - \mathbf{k}(\mathbf{k}\cdot\hat{\mathbf{u}}_{\mathbf{k}})/|\mathbf{k}|^2. Le curseur \alpha règle la part compressible du champ ; la carte de couleur montre \nabla\cdot\mathbf{u}.

La projection ne fait que retirer de l’énergie (\|\mathbb{P}\mathbf{u}\|^2 \le \|\mathbf{u}\|^2). Sur un domaine borné, elle exigerait de résoudre un problème de Poisson avec conditions aux limites : c’est l’une des raisons pour lesquelles le rapport préfère générer des potentiels.

Pour aller plus loin : module p1 — calcul vectoriel et Fourier et expérience E2.

3. Contrainte en loi ou contrainte par échantillon

Dans un état statistiquement stationnaire, la variation d’énergie r = \mathrm{d}E/\mathrm{d}t = P - \varepsilon fluctue : elle n’est nulle qu’en moyenne. Ce schéma compare trois lois de r : la vraie loi, la loi d’un modèle biaisé dont on projette chaque échantillon sur r = 0, et la même loi corrigée par inclinaison exponentielle w_i \propto e^{\beta r_i}. La projection par échantillon satisfait la contrainte en détruisant la variance ; l’inclinaison corrige la moyenne en déformant le moins possible la loi au sens de Kullback–Leibler.

Cochez « support manquant » : si le modèle n’a jamais produit la queue droite de la vraie loi, aucun repondérage ne peut la créer. La taille d’échantillon effective s’effondre. C’est ce qu’observent les expériences E1 et E2, et c’est pourquoi le rapport impose plutôt la contrainte pendant l’entraînement.

Pour aller plus loin : module p5 — probabilités et transport optimal (I-projection) et module p8 — contraintes physiques.

4. Renversements du dipôle : le modèle de Gissinger

Le modèle à trois modes de Gissinger (2012) couple un mode dipolaire D, un mode quadripolaire Q et un mode de vitesse V. Il reproduit des renversements chaotiques du dipôle, analogues à ceux de l’expérience VKS. Faites varier \Gamma : jusqu’à \Gamma = 0{,}86, la trajectoire reste d’un côté (pas de renversement) ; juste au-dessus (dès 0{,}865 sur la grille fine de E1 ; un contrôle plus long en trouve déjà à 0{,}8625), les deux attracteurs symétriques ont fusionné et D change de signe de façon irrégulière, d’abord rarement, puis de plus en plus souvent quand \Gamma augmente.

Le schéma compte les passages de D par zéro et les compare à l’estimation par la formule de Rice, calculée à partir des seuls états visités : \nu_0 \approx \mathbb{E}\big[|\dot D|\,\mathbf{1}_{|D|<h}\big]/(2h). C’est l’idée de la Proposition 8 du rapport : un modèle génératif de la loi stationnaire suffit à prédire la fréquence des renversements, sans intégrer en temps.

Pour aller plus loin : module p4 — systèmes dynamiques et expérience E1.

5. Dynamo cinématique ABC

L’écoulement ABC (A = B = C = 1) est une dynamo cinématique : pour certaines valeurs du nombre de Reynolds magnétique Rm = 1/\eta, un champ magnétique initialement faible croît exponentiellement. La courbe montre le taux de croissance \lambda(Rm) calculé dans ce dépôt sur une grille 32^3 ; les zones ombrées sont les fenêtres de dynamo. La carte montre une coupe de |\mathbf{B}| du mode le plus instable.

Les seuils mesurés (Rm \approx 8{,}87, 17{,}6 et 26{,}8) retrouvent les fenêtres connues (8{,}9 < Rm < 17{,}5 puis Rm \gtrsim 27). Ce calcul sert de banc d’essai 3D pour la thèse : générer des modes propres conditionnés par Rm à partir d’un potentiel vecteur.

Pour aller plus loin : module p3 — MHD et effet dynamo et expérience E3.

6. La chaîne de simulation

Ce dernier schéma n’illustre pas une notion mathématique, mais l’outil de calcul du dépôt : la chaîne qui mène d’une campagne de simulations à l’évaluation d’un modèle, et ce qui change d’une cible à l’autre (portable, VM cloud avec GPU, cluster Slurm). Choisissez une cible, puis cliquez une étape : le schéma montre ce qu’elle fait, ce qu’elle écrit au catalogue et dans le stockage, et la commande exacte sur cette cible. Le bouton « Suivre une campagne » parcourt les sept étapes.

Pour aller plus loin : page Calcul et données, figures 1 et 2.

Sources